இருபடிச் சார்புகளை பகுப்பாய்வு செய்தல்

இருபடிச் சார்பின் நியம வடிவம் f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) ஆகும்; a > 0 எனின் பரவளைவு மேல்நோக்கித் திறக்கும் (இழிவு உச்சி), a < 0 எனின் கீழ்நோக்கித் திறக்கும் (உயர் உச்சி). ax^2 + bx + c = 0 இன் மூலங்கள் x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a) ஆகும்; மூலங்களின் தன்மை தன்மைகாட்டி Δ = b^2 - 4ac இனால் தீர்மானிக்கப்படும் (Δ > 0: இரு வேறுபட்ட மெய் மூலங்கள்; Δ = 0: சமனான மெய் மூலங்கள்; Δ < 0: மெய் மூலங்கள் இல்லை). மூலங்களுக்கும் குணகங்களுக்கும் இடையிலான தொடர்பு: மூலங்கள் α, β எனின் α + β = -b/a மற்றும் αβ = c/a; இருபடிச் சமன்பாடு x^2 - (α + β)x + αβ = 0 ஆகும்.

மூலங்களின் சமச்சீர் சார்புகள்: α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ மற்றும் α^3 + β^3 = (α + β)^3 - 3αβ(α + β). இருபடிக் கோவை அனைத்து மெய் x இற்கும் நேராக அமைய நிபந்தனை (ax^2 + bx + c > 0): a > 0 மற்றும் Δ < 0; மறை மதிப்பாக அமைய a < 0 மற்றும் Δ < 0 ஆகும்.

பரீட்சகர் புள்ளியிடல் சரிபார்ப்புகள் (உ/தர இணைந்த கணிதம்)

1. உச்சியின் ஆள்கூறுகள்: பரவளைவின் உச்சி (-b/(2a), -(b^2 - 4ac)/(4a)) ஆகும்; சமச்சீர் அச்சு x = -b/(2a).
2. பொது மூலத்திற்கான நிபந்தனை: இரு சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு பொது மூலம் அமைய குறுக்குப் பெருக்கல் மூலம் (c1*a2 - c2*a1)^2 = (a1*b2 - a2*b1)(b1*c2 - b2*c1) பெறப்படும்.
3. மூலங்களின் குறிகள்: இரு மூலங்களும் நேர் மூலங்களாக அமைய Δ ≥ 0, α + β > 0, மற்றும் αβ > 0; ஒன்று நேர் மற்றையது மறையாக அமைய αβ < 0 போதுமானது.