சாதாரண தர கணிதத்தை எப்படிக் கற்பது? பயத்தை விரட்டுவது எப்படி?

சாதாரண தர (O/L) மாணவர்களுக்கு மிகவும் அச்சம் தரும் பாடம் கணிதம். அதேசமயம் மிகவும் தவறாகப் புரிந்து கொள்ளப்பட்ட பாடமும் இதுதான். பல மாணவர்கள் கணிதத்தை ஒரு வாசிப்புப் பாடம் (Reading Subject) போலப் படிக்கிறார்கள். ஆனால் கணிதம் வாசிப்பதற்கு அடங்க மறுக்கிறது. "கற்பதற்கு கற்போம்" புத்தகத்தின் இந்தப் பகுதி, கணிதத்திற்கான ஒரு வழிகாட்டி (Playbook). உதாரணக் கணக்குகளைப் பார்ப்பது ஏன் பயனற்றது, புள்ளிகளை உயர்த்தும் தினசரி முறை எது, மற்றும் ஒவ்வொரு குடும்பமும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய உண்மை என்ன: உங்கள் கணிதப் புள்ளிகள்தான் நீங்கள் உயர்தரத்தில் (A/L) என்ன படிக்கலாம் என்பதைத் தீர்மானிக்கின்றன.

குறுகிய பதில்: கணிதத்தை வாசிப்பதன் மூலம் அல்ல, தினமும் செய்வதன் மூலமே நீங்கள் சாதாரண தரத்தில் சித்தியடைய முடியும். உங்கள் சொந்தப் பேனாவால் கணக்குகளைத் தீர்க்க முயலுங்கள். புத்தகத்தில் செய்து காட்டப்பட்ட உதாரணங்களை மூடி வைத்துவிட்டு, ஒரு வெற்றுத் தாளில் நீங்களாகவே மீண்டும் செய்து பாருங்கள். ஒவ்வொரு படிமுறையையும் (Steps) எழுதுங்கள். செய்யும் தவறுகளை வகைப்படுத்தி ஒரு பதிவேட்டில் குறியுங்கள். தீர்வுகளை மணிக்கணக்காகப் பார்த்துக் கொண்டிருப்பதை விட, தினமும் 20 நிமிடங்கள் நீங்களாகவே கணக்குகளைச் செய்து பார்த்து அன்றே திருத்திக் கொள்வது அதிக புள்ளிகளைப் பெற்றுத் தரும்.

கணிதத்தைக் கண்டு பயப்படும் ஒரு மாணவரிடம் அவர் எப்படிப் படிக்கிறார் என்று கேட்டுப் பாருங்கள். அந்தப் பயத்திற்கான காரணம் அவர் சொல்லும் பதிலிலேயே இருக்கும்:

"நான் பாடத்தை வாசிப்பேன். புத்தகத்தில் செய்து காட்டப்பட்ட உதாரணங்களைப் பார்ப்பேன். டியூஷன் மாஸ்டர் கணக்குச் செய்வதைப் பார்ப்பேன். அவர் செய்யும்போது எனக்கு எல்லாம் புரியும்... ஆனால் பரீட்சைத்தாளில் என்னால் தனியாகச் செய்ய முடிவதில்லை."

இந்த பதிலில் வரும் ஒவ்வொரு வாக்கியமும் "பார்ப்பதை" (Watching) மட்டுமே குறிக்கிறது. பார்ப்பதன் மூலம் உங்களுக்கு எதையும் தராத ஒரு பாடம் கணிதம். ஏனெனில் கணிதம் என்பது நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டிய ஒரு தகவல் அல்ல; அது நீச்சல் பழகுவது அல்லது பந்து வீசுவது போன்ற ஒரு திறமை (Skill). நீச்சல் பற்றி வாசிப்பதன் மூலமோ அல்லது மற்றவர் நீந்துவதைப் பார்ப்பதன் மூலமோ யாரும் நீச்சல் கற்றுக்கொள்ள முடியாது. இந்தப் புத்தகத்தின் மிக முக்கியமான விதியை நீங்கள் அறிவீர்கள்: அறிவு உங்களுக்குள் இருந்து வெளியே வர வேண்டும் (Knowledge must flow out). கணிதத்தைப் பொறுத்தவரை இந்த விதி மிக முக்கியமானது. வாசிக்கும்போது எல்லாம் விளங்குவது போலத் தோன்றும் (இது ஒரு மாயை), ஆனால் பரீட்சையில் அது கை கொடுக்காது.

எனவே, இந்த முழு வழிகாட்டியையும் ஒரே வாக்கியத்தில் சொல்லலாம்: கணிதம் என்பது வாசிப்பதற்கல்ல, செய்வதற்கு. கீழே உள்ள அனைத்தும் அந்த ஒரு வாக்கியத்தின் விரிவான விளக்கங்களே.

கணிதப் புள்ளிகள் ஏன் இவ்வளவு முக்கியம்? (உங்களுக்குக் கணிதம் பிடிக்காவிட்டாலும் இதை வாசியுங்கள்)

படிக்கும் முறைக்குச் செல்லும் முன், இதன் முக்கியத்துவத்தைத் தெரிந்துகொள்வோம். கணிதம் என்பது ஒன்பது பாடங்களில் ஒன்று மட்டுமல்ல; அது உங்கள் எதிர்காலத்திற்கான ஒரு நுழைவாயில் (Gate).

உயர்தரப் (A/L) பாடத்தெரிவு தொடர்பான வழிகாட்டல்கள் இதைத் தெளிவாகக் கூறுகின்றன: கணிதப் பிரிவு (Physical Science) செல்வதற்குச் சாதாரண தர கணிதத்தில் சிறந்த சித்தி (A அல்லது B) அவசியம். உயிரியல் மற்றும் தொழில்நுட்பப் பிரிவுகளுக்கும் (Science & Technology) கணிதத்தில் நல்ல சித்தி தேவை. கணிதத்தில் தோல்வியடையும் ஒரு மாணவர் பொதுவாகக் கலைப் பிரிவை (Arts) மட்டுமே தெரிவு செய்ய முடியும். அதுமட்டுமன்றி, உயர்தரம் படிக்கும் முதலாம் ஆண்டிலேயே மீண்டும் சாதாரண தர கணிதப் பரீட்சையை எழுதிச் சித்தியடைய வேண்டும். (சரியான தகுதிகள் உங்கள் பாடசாலை மற்றும் தற்போதைய சுற்றறிக்கைகளைப் பொறுத்து அமையலாம் - அதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்). நீங்கள் தவிர்க்க நினைக்கும் ஒரு பாடம்தான் உங்கள் எதிர்காலப் பாதையைத் தீர்மானிக்கிறது. இது பயமுறுத்துவதற்காக அல்ல, யதார்த்தத்தைப் புரிந்து கொள்ளவே. நல்ல செய்தி என்னவென்றால், சரியான முறையைப் பின்பற்றினால் கணிதம் உங்களுக்குத் துரோகம் செய்யாது.

கணிதத்தை உண்மையில் எப்படிப் படிப்பது? ஐந்து விதிகள்

விதி 1 — உதாரணக் கணக்குகள் ஒரு பயிற்சி, அது கதை அல்ல. புத்தகத்தில் செய்து காட்டப்பட்ட உதாரணங்களை (Worked examples) ஒருபோதும் வாசிக்காதீர்கள். தீர்வை மூடி வைத்துவிட்டு, நீங்களாகவே செய்ய முயலுங்கள். தெரியாத இடத்தில் மட்டும் ஒவ்வொரு வரியாகத் திறந்து பாருங்கள். கணக்கைச் செய்து முடித்த பின், மீண்டும் ஒரு வெற்றுத் தாளில் ஆரம்பத்தில் இருந்து நீங்களாகவே செய்து பாருங்கள். நீங்களாகவே சுயமாகச் செய்ய முடியாத ஒரு கணக்கை நீங்கள் இன்னும் கற்றுக் கொள்ளவில்லை என்றுதான் அர்த்தம்.

விதி 2 — தினமும் தாளில் செய்து பழகுங்கள். கணிதப் புள்ளிகள் நீங்கள் எத்தனை கணக்குகளைச் சுயமாகச் செய்தீர்கள் என்பதைப் பொறுத்தே அமையும். பாடப்புத்தகத்தின் இறுதியில் உள்ள பயிற்சிகளை யாராவது உதவி செய்வதற்கு முன்பே நீங்களாகச் செய்து பாருங்கள். ஞாயிற்றுக்கிழமை மூன்று மணிநேரம் கணித வீடியோக்களைப் பார்ப்பதை விட, தினமும் 20 நிமிடங்கள் பேனா எடுத்து நீங்களாகக் கணக்குகளைச் செய்வது சிறந்தது. திறமை என்பது தினசரி பயிற்சியில் தான் வளரும்.

விதி 3 — தவறுகளை வகைப்படுத்துங்கள். நீங்கள் செய்யும் ஒவ்வொரு தவறையும் ஒரு பதிவேட்டில் குறியுங்கள். தவறுகள் பொதுவாக மூன்று வகைப்படும்: விளக்கமின்மை (Concept - பாடம் புரியவில்லை), முறை தவறு (Method - செய்யும் வழிமுறை தெரியவில்லை), அல்லது கவனக்குறைவு (Precision - குறியீடுகளை மாற்றுவது அல்லது கூட்டல் கழித்தல் பிழை). கணிதத்தில் பலவீனமாக இருக்கும் பல மாணவர்கள், தங்களுக்குப் பாடம் புரியவில்லை என்று நினைப்பார்கள். ஆனால் உண்மையில் அவர்கள் செய்வது கவனக்குறைவு அல்லது முறை சார்ந்த தவறுகளாகத்தான் இருக்கும். இதைச் சில வாரங்களிலேயே சரி செய்துவிடலாம்.

விதி 4 — ஒவ்வொரு படிமுறையையும் (Steps) எழுதுங்கள். பரீட்சைத் திருத்தும் முறையைப் பார்த்தால், விடைக்கு மட்டுமன்றி ஒவ்வொரு வரிக்கும் (Step marks) புள்ளிகள் வழங்கப்படுவதைக் காணலாம். மனக்கணக்காகப் போடும்போது இந்தப் புள்ளிகளை நீங்கள் இழக்கிறீர்கள். அதுமட்டுமன்றி, எல்லாப் படிமுறைகளையும் எழுதும்போது தவறுகள் நடப்பதும் குறையும். புள்ளி வழங்கும் திட்டத்திற்கு (Marking scheme) ஏற்ப உங்களைப் பழக்கப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்.

விதி 5 — ஒரு கணக்கு கடினமாக இருந்தால், பின்னோக்கிச் செல்லுங்கள். கணிதம் என்பது ஒரு கட்டிடம் போன்றது. இன்றைய பாடம் கடந்த வருடப் பாடத்தின் மேல் நிற்கிறது. 11-ஆம் வகுப்பு கணக்கு ஒன்று உங்களுக்குப் புரியவில்லை என்றால், பெரும்பாலும் அதற்குத் தேவையான 9-ஆம் வகுப்பு அடிப்படை அறிவில் ஓட்டை இருக்கலாம். புரியாத கணக்கை மல்லுக்கட்டிச் செய்யாமல், அதற்கு அடிப்படையான பழைய பாடம் எது என்று பார்த்து அதைச் சரி செய்யுங்கள். "எனக்குக் கணிதம் வராது" என்று சொல்வதை விட "எனக்குக் கணிதத்தில் பழைய நிலுவைகள் (Debt) உள்ளன" என்று சொல்வதே சரியானது. இதைச் சரி செய்ய முடியும்.

ஒரு சிறந்த கணிதப் படிப்பு வாரம் எப்படி இருக்க வேண்டும்?

• தினமும் (20–40 நிமிடம்): ஒரு குறிப்பிட்ட தலைப்பில் கணக்குகளைச் செய்தல். இன்று படித்த பாடத்திலிருந்து சில கணக்குகளும், ஒரு வாரத்திற்கு முன் படித்த பாடத்திலிருந்து இரண்டு பழைய கணக்குகளும் (Spaced retrieval) செய்தல்.
• சிக்கல் வரும்போது: எங்கே தடுமாறுகிறீர்கள் என்பதைக் குறியுங்கள். யாரிடமாவது உதவி கேட்கும்போது விடையைக் கேட்காமல் வழியைக் (Method) கேட்டுத் தெரிந்து கொள்ளுங்கள். பின் நீங்களாகவே அந்தத் தாளில் செய்து முடியுங்கள்.
• வாரம் ஒருமுறை: வெவ்வேறு பாடங்களில் இருந்தும் கலந்த கணக்குகளை (Mixed set) ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்திற்குள் செய்து பாருங்கள். பரீட்சைத்தாளில் "இது இந்தக் கூட்டல் பாடம்" என்று தலைப்பு போட்டு வரப்போவதில்லை. எந்தக் கணக்கிற்கு எந்தச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதைத் தீர்மானிக்க இந்தக் கலப்புப் பயிற்சி உதவும்.
• அன்றே திருத்துங்கள்: செய்த கணக்குகளை அன்றே சரி பார்த்து, தவறுகளை உங்கள் பதிவேட்டில் (Mistake Bank) வகைப்படுத்துங்கள். பரீட்சை நெருங்கும் காலத்தில், முன்னைய கால வினாத்தாள்களை (Past papers) ஒரு திட்டமிட்ட முறையில் செய்து பாருங்கள்.

இன்றிரவே செய்யுங்கள்

1. இந்த வாரம் உங்களுக்குத் தெளிவாகப் புரிந்தது என்று நீங்கள் நினைக்கும் ஓர் உதாரணக் கணக்கை எடுங்கள். அதன் தீர்வை மூடிவிட்டு, ஒரு வெற்றுத் தாளில் நீங்களாகவே செய்து பாருங்கள். அதன் முடிவு - எப்படியிருந்தாலும் - உங்களுக்கு ஒரு பெரிய உண்மையைக் காட்டும்.
2. பாடப்புத்தகத்தில் உள்ள நான்கு பயிற்சிக் கணக்குகளை நீங்களாகவே முழுமையாகச் செய்து பாருங்கள்.
3. அடிப்படை விஷயங்களே புரியவில்லை என்றால், கவலைப்படாதீர்கள். உங்களுக்கு எந்தப் பாடம் வரை நன்றாகத் தெரியுமோ அந்தப் பாடத்திற்குச் சென்று அங்கிருந்து மீண்டும் ஆரம்பியுங்கள். இது பின்னோக்கிச் செல்வது அல்ல, அஸ்திவாரத்தைப் பலப்படுத்துவது.

ஒரு பார்வையில்

• கணிதம் என்பது வாசிப்பதற்கல்ல, செய்வதற்கு. தீர்வுகளைப் பார்ப்பது உங்களை ஏமாற்றும்; நீங்களாகச் செய்வது மட்டுமே புள்ளிகளைத் தரும்.
• நுழைவாயில்: உயர்தரத்தில் நீங்கள் விரும்பும் பிரிவைத் தெரிவு செய்யச் சாதாரண தர கணிதச் சித்தி அவசியம்.
• ஐந்து விதிகள்: உதாரணங்களை மூடி வைத்துச் செய்தல் · தினசரி பயிற்சி · தவறுகளை வகைப்படுத்துதல் · படிமுறைகளை எழுதுதல் · புரியாதபோது அடிப்படைக்குச் செல்லுதல்.
• கலப்புப் பயிற்சி (Mixed sets): வெவ்வேறு பாடங்களின் கணக்குகளைச் செய்வதுதான், பரீட்சையில் எந்த முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதை உங்களுக்குக் கற்றுத் தரும்.
• "கணிதத்தில் பலவீனம்" என்பது பெரும்பாலும் "பழைய பாடங்களில் உள்ள நிலுவை" மட்டுமே. இதைச் சரி செய்ய முடியும்.

இடசர அகாடமியுடன் மேலும் ஒரு படி

கணிதப் பயிற்சிக்கு இரண்டு விஷயங்கள் மிக முக்கியம்: தரமான கணக்குகள் மற்றும் நேர்மையான திருத்தம். இடசர அகாடமியின் Micro-quizzes (இலவசமாக ஆரம்பிக்கலாம்) உங்களுக்குத் தினசரி பயிற்சிகளை வழங்குகிறது. இதில் நீங்கள் செய்யும் ஒவ்வொரு பிழையும் தானாகவே உங்கள் தவறுப் பதிவேட்டில் (Mistake Bank) சேமிக்கப்படும். எங்களின் கட்டணச் சேவைகளில் (Paid tiers), Exam Paper Marking வசதி உள்ளது. இதில் நீங்கள் கையால் எழுதிய விடைகளைப் பரீட்சகர் போலவே திருத்தி, ஒவ்வொரு படிமுறைக்கும் (Method marks) புள்ளிகளை வழங்குவோம். இதன் மூலம் உங்கள் தவறுகளை டிசம்பர் மாதம் பரீட்சை மண்டபத்தில் தெரிந்து கொள்வதற்குப் பதிலாக, இப்போதே திருத்திக் கொள்ள முடியும்.

இலவசமாகத் தொடங்குங்கள் — கணக்கை உருவாக்குங்கள் →

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

வகுப்பில் புரியும் கணக்குகளை ஏன் வீட்டில் தனியாகச் செய்ய முடியவில்லை? இதுதான் "பார்ப்பதால் வரும் ஏமாற்றம்". ஆசிரியர் செய்யும்போது அவரது வேகத்தில் உங்களுக்கும் புரிவது போலத் தோன்றும். இதைச் சரி செய்ய, வகுப்பில் செய்த கணக்குகளை அன்றே 24 மணிநேரத்திற்குள் மூடி வைத்துவிட்டுச் சுயமாகச் செய்து பாருங்கள். அப்போதுதான் அது உங்கள் மனதில் பதியும்.

ஒரு நாளைக்கு எத்தனை கணக்குகள் செய்ய வேண்டும்? அதிகமாகச் செய்யத் தேவையில்லை. பாடசாலை நாட்களில் 4 முதல் 6 கணக்குகளைச் சுயமாக, முழுமையாகச் செய்து திருத்தினாலே போதும். 100 கணக்குகளை மேலோட்டமாகப் பார்ப்பதை விட, 10 கணக்குகளை ஆழமாகச் செய்வது சிறந்தது.

கணிதத்திற்குத் தனியார் வகுப்பு (Tuition) அவசியமா? கட்டாயம் என்று சொல்ல முடியாது, ஆனால் ஒரு நல்ல ஆசிரியர் முறையான வழிகாட்டுதலை வழங்குவார். இருப்பினும், டியூஷன் வகுப்பிலும் ஆசிரியர் செய்வதைப் பார்த்துக் கொண்டு மட்டும் இருந்தால் பலன் இல்லை. வகுப்பு முடிந்த பின் உங்களால் அந்தக் கணக்குகளைத் தனியாகச் செய்ய முடிகிறதா என்று பாருங்கள்.

கணிதப் பரீட்சை என்றாலே எனக்குப் பயமாக இருக்கிறது. என்ன செய்வது? கணிதப் பயம் என்பது பெரும்பாலும் பழைய பாடங்களில் உள்ள தெளிவின்மையால் வருவதுதான். பயத்தைப் போக்க ஒரே வழி, உங்களுக்குத் தெரிந்த மிக எளிமையான கணக்குகளில் இருந்து ஆரம்பித்துத் தன்னம்பிக்கையை வளர்த்துக் கொள்வதுதான். நீங்கள் செய்யச் செய்யப் பயம் ஓடிவிடும்.

மேலும் வாசிப்பதற்கு

கணிதப் பயிற்சிக்கான எங்களின் முழுமையான வழிமுறையை இங்கே வாசிக்கலாம்: பகுதி 3 — தரம் உயரும் ஏணி மற்றும் விடைத்தாள் திருத்தம்.

மூலங்கள்

• Trinity College Kandy — Guidance on selecting A/L subject streams (உயர்தரப் பாடத்தெரிவு வழிகாட்டல்)
• Dunlosky, J. et al. (2013) — Association for Psychological Science (பயிற்சித் தேர்வுகள் மற்றும் கலப்புப் பயிற்சிகளின் முக்கியத்துவம்)
• UCLA Bjork Lab — Research overview (கலப்புப் பயிற்சிகள் எவ்வாறு திறமையை வளர்க்கின்றன)
• இடசர முறை: Part 3 — The Grade Progression Ladder & Paper Marking