ද්විපද ප්‍රසාරණයේ මූලික ගුණාංග

ධන නිඛිල දර්ශකයක් n ∈ ℤ⁺ සඳහා ද්විපද ප්‍රමේයය (a + b)^n = ∑_{r=0}^n ⁿC_r a^{n-r} b^r = ⁿC₀ a^n + ⁿC₁ a^{n-1} b + ... + ⁿC_n b^n ලෙස ප්‍රකාශ වේ. මෙහි ද්විපද සංගුණකය ⁿC_r = n! / [r! (n - r)!] වේ. මූලික ගුණාංග: (1) ප්‍රසාරණයේ මුළු පද ගණන (n + 1) කි; (2) සෑම පදයකම a සහ b හි බලවල එකතුව n වේ; (3) සංගුණකවල සමමිතිය: ⁿC_r = ⁿC_{n-r}; (4) පැස්කල් සර්වසාම්‍යය: ⁿC_r + ⁿC_{r-1} = ⁿ⁺¹C_r; (5) සියලු සංගුණකවල එකතුව: a = b = 1 ආදේශ කළ විට ∑ ⁿC_r = 2^n ලැබේ; (6) a = 1, b = -1 විට ප්‍රත්‍යාවර්තක එකතුව ශූන්‍ය වේ.

පරීක්ෂක ලකුණු කිරීමේ පිරික්සුම් (උ/පෙළ සංයුක්ත ගණිතය I පත්‍රය)

1. පොදු පදය ලිවීම: (r + 1) වන පදය T_{r+1} = ⁿC_r a^{n-r} b^r ලෙස සෘණ ලකුණු ද සහිතව නිවැරදිව ලිවීම.
2. සංගුණක සර්වසාම්‍ය සාධනය: අවකලනය හෝ ප්‍රසාරණ ක්‍රම මඟින් ⁿC₁ + 2ⁿC₂ + ... + nⁿC_n = n 2^{n-1} වැනි සම්බන්ධතා ඔප්පු කිරීම.
3. පැස්කල් ත්‍රිකෝණ සබඳතාව: ද්විපද සංගුණක පැස්කල් ත්‍රිකෝණයේ පේළි සමඟ සම්බන්ධ කරමින් ⁿC_r + ⁿC_{r-1} = ⁿ⁺¹C_r සනාථ කිරීම.